Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知分别在数列递推式中取n=1，2，3，4求得a₃，a₄，a₅，a₆的值；然后分n为奇数和偶数可得{a_2m-1}为等差数列，{a_2m}为等比数列，再由等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
分别令n=1，2，3，4，
可求得：a₃=3，${a}_{4}=\frac{1}{4}$，a₅=5，${a}_{6}=\frac{1}{8}$；
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2，
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1，即a_n=n；
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则2a_2m+2-a_2m=0，
∴{a_2m}为等比数列，a_2m=$\frac{1}{2}$•$（\frac{1}{2}）^{m-1}$=$\frac{1}{{2}^{m}}$，故${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．
综上所述，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了等差数列和等比数列通项公式的求法，是中档题．