Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意正整数m，n，都有S_m+n=S_mS_n，则{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a₁=2，对任意正整数m，n，都有S_m+n=S_mS_n，取m=1，可得S_n+1=2S_n，利用等比数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系即可得出．

解答 解：a₁=2，对任意正整数m，n，都有S_m+n=S_mS_n，
取m=1，则：S_n+1=2S_n，
∴数列{S_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴S_n=2ⁿ．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
则{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．