Question

11．已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数f（x）（　　）

• A． 在[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上单调递减
• B． 在[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上单调递增
• C． 在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上单调递减
• D． 在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上单调递增

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的奇偶性、周期性求得θ和ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=2cos（ωx+θ）=2sin[$\frac{π}{2}$-（ωx+θ）]=-2sin（ωx+θ-$\frac{π}{2}$）（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，
∴θ-$\frac{π}{2}$=kπ，即 θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴θ=$\frac{π}{2}$，f（x）=-2sinωx．
再根据它的图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数f（x）的周期为 $\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∴f（x）=-2sin2x．
x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]⇒2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函数f（x）没有单调性，故排除A、B．
在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）单调递减，故排除D，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的奇偶性、周期性、单调性，属于基础题．