Question

6．已知圆C：（x-2）²+（y-3）²=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{84}{5}$，则实数k的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 联立方程组消元，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据根与系数的关系得出x₁x₂，y₁y₂，代入数量积公式列方程解出k．

解答 解：直线l的方程为y=kx+3，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}=1}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，消元得：（k²+1）x²-4x+3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$．
∴y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12k}{{k}^{2}+1}$+9．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$+$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12k}{{k}^{2}+1}$+9=$\frac{84}{5}$，
解得，k=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，根与系数的关系，属于中档题．