Question

15．已知数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$求数列（b_n}的前n项的和T_n，并证明T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质、等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列，∴2S_n=2a_n+1-a₂，
当n≥2时，2S_n-1=2a_n-a₂，
∴2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列（b_n}的前n项的和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．