Question

三棱锥A-BCD，其中△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，AB=AC=AD=5，BD=4，CD=4

3

．
（1）求证：面BCD⊥面ABC
（2）求二面角C-AD-B的平面角．

Answer 1

分析：（1）取BC中点O，连接DO，有已知条件可得△AOB≌△AOC≌△AOD，进而得到∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°；从而有AO⊥面BCD可得面BCD⊥面ABC；
（2）过O作OF与BC垂直，交CD于F点，建立空间直角坐标系，求出个对应点的坐标，进而求出面ACD的法向量以及面ABD的法向量的坐标，最后代入向量夹角的计算公式即可得到结论．

解答：（1）证明：取BC中点O，连接DO，由已知△BCD为直角三角形，可得OC=OD=OB，
又知AB=AC=AD，则△AOB≌△AOC≌△AOD，（2分）
可知∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°，
则AO⊥面BCD，AO?面ABC
得面BCD⊥面ABC（6分）
（2）解：过O作OF与BC垂直，交CD于F点，
建系[O；

OF，

，

OB

，

OA

]
则 A（0，0，4），B（0，4，0），
C （0，-4，0），D（2

3

，2，0）（8分）
设面ACD的法向量为

n1

=(x，y，z)，由

n1

•

AC

=0，

n1

•

AD

=0，可知

n1

=(-3

3

，3，-4)
设面ABD的法向量为

n2

=(x，y，z)，由

n2

•

AB

=0，

n2

•

AD

=0，可知

n1

=(

3

，3，4)（12分）
∴cos＜n1，n2＞=-

4 91

91

，
则＜n1，n2＞=π-arccos

4 91

91

（14分）

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角以及线面垂直的证明．在用空间向量求平面间的夹角问题时，一定要注意平面的法向量不能求错．