Question

13．设函数f（x）=$\frac{1-m-x}{{e}^{x}}$．
（1）求函数f（x）在[0，2]上得单调区间；
（2）当m=0，k∈R时，求函数g（x）=f（x）-kx²在R上零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间即可；
（2）将m=0代入g（x），令g（x）=0，分离出k，根据函数的单调性求出k的范围，从而判断出零点的个数．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{x+m-2}{e^x}$，
当2-m≤0，即m≥2时，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上单调递增；
当0＜m＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2-m，令f′（x）＞0，得2-m＜x＜2，
所以f（x）在[0，2-m]上单调递减，在[2-m，2]上单调递增；
当m≤0时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上单调递减．…（5分）
（2）由g（x）=f（x）-kx²=0$⇒\frac{1-x}{e^x}=k{x^2}⇒k=\frac{1-x}{{{x^2}{e^x}}}（x≠0）$，
令$h（x）=\frac{1-x}{{{x^2}{e^x}}}$，$h'（x）=\frac{{{x^2}-2}}{{{x^3}{e^x}}}$，由$h'（x）＞0⇒-\sqrt{2}＜x＜0$或$x＞\sqrt{2}$，
由$h'（x）＜0⇒x＜-\sqrt{2}$或$0＜x＜\sqrt{2}$，
∴h（x）在$（-∞，-\sqrt{2}），（0，\sqrt{2}）$上单调递减，在$（-\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，+∞）$上单调递增．…（10分）
在x＜0时，当$x=-\sqrt{2}$时，h（x）取得极小值，且$h（-\sqrt{2}）=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$，
当x→-∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞．
在x＞0时，当$x=\sqrt{2}$时，h（x）取得极小值$h（\sqrt{2}）=\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}＜0$，
当x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→0．
综上结合图形得当$k＜\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}$没有零点，当$k=\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}或0≤k＜\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$有一个零点，
当$\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}＜k＜0$或$k=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$有二个零点，当$k＞\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$时有三个零点．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．