Question

18．已知函数f（x）=cos（3x+$\frac{π}{3}$）+cos（3x-$\frac{π}{3}$）+2sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展开两角和与差的余弦，利用倍角公式降幂再用两角和的正弦化积，则周期可求；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的3x+$\frac{π}{4}$的范围，进一步求出sin（3x$+\frac{π}{4}$）的范围得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（3x+$\frac{π}{3}$）+cos（3x-$\frac{π}{3}$）+2sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$
=cos3xcos$\frac{π}{3}$-sin3xsin$\frac{π}{3}$+cos3xcos$\frac{π}{3}$+sin3xsin$\frac{π}{3}$+sin3x
=$\frac{1}{2}cos3x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x+\frac{1}{2}cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x$+sin3x
=sin3x+cos3x=$\sqrt{2}sin（3x+\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴3x∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
则$3x+\frac{π}{4}∈$[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
则f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值分别为$\sqrt{2}$和-1．

点评 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．