Question

13．正项等比数列{a_n}，若2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₃²=9a₂a₆=9a₃a₅计算可知$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=q²=$\frac{1}{9}$，进而可知公比q=$\frac{1}{3}$，通过2a₁+3a₂=1可知a₁=$\frac{1}{3}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知log₃a_n=-n，从而b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₃²=9a₂a₆=9a₃a₅，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=q²=$\frac{1}{9}$，
解得：q=$\frac{1}{3}$或q=-$\frac{1}{3}$（舍），
又∵2a₁+3a₂=1，即2a₁+3$•\frac{1}{3}•$a₁=1，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴其通项公式a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…log₃a_n
=-1-2-…-n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=-2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=-$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．