Question

【题目】若对任意的实数k，b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.

（1）判断函数是否为“恒切函数”；

（2）若函数是“恒切函数”，求实数m，n满足的关系式；

（3）若函数是“恒切函数”，求证：.

Answer 1

【答案】（1）函数为“恒切函数”（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）设切点为，由导数的几何意义，以及切点为切线和函数图象的公共点，“恒切函数”，即为，根据关系式，求解即可；

（2）设切点为，由，求出，即可得出结论；

（3）设切点为，由，得到，先求出关于切点方程的解或解的范围，再由，即可求出的取值范围.

（1）函数为“恒切函数”，设切点为.

则，∴

对于函数.

设切点为，∴，

解得：.∴是“恒切函数”.

（2）若函数是“恒切函数”，

设切点为.

，

解得：，即.

∴实数m，n满足的关系式为：.

（3）函数是“恒切函数”，设切点为.

∵，∴，

∴.

考查方程的解，设.

∵，令，解得：.

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴.

1°当时

∵.

∴在上有唯一零点.

又∵，

∴.

2°当时∵，

∴在上有唯一零点0，∴.

综上可知：.