Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m），f（x）=

a

•

b

；
（1）求函数在[0，π]上的单调增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最大值为4，求实数m的值．（提示：

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：根据向量的内积运算，利用两角和的正弦公式化成正弦函数的标准形式，然后根据正弦函数的单调性与最值求函数f（x）的单调区间与最值．

解答： 解：依题意得：
f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+1+m
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）∵x∈[0，

π

6

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，f（x）_max=2+m+1
依题意得：3+m=4，∴m=1．

点评：本题考查了向量的内积运算、两角和的正弦公式及三角函数的性质，解题的关键是把函数f（x）化成正弦函数的标准形式．