Question

11．已知0＜α＜π，sinα+cosα=$\frac{1}{5}$．
（1）求tanα的值；
（2）求sin²α-3sinαcosα-4cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得sinα-cosα的值，解得sinα和cosα的值，可得tanα的值．
（2）根据sin²α-3sinαcosα-4cos²α=$\frac{{tan}^{2}α-3tanα-4}{{tan}^{2}α+1}$，求得结果．

解答 解：（1）∵$sinα+cosα=\frac{1}{5}，0＜α＜π$，∴$1+2sinαcosα=\frac{1}{25}$，
求得$2sinαcosα=-\frac{24}{25}$，∴θ为钝角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
可得$sinα-cosα=\sqrt{{{（{sinα-cos{α^{\;}}}）}^2}}=\sqrt{1-2sinαcosα}=\frac{7}{5}$，求得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$．
（2）sin²α-3sinαcosα-4cos²α=$\frac{{sin}^{2}α-3sinαcosα-{4cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α-3tanα-4}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{16}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．