Question

20．设I是△ABC的内心，其中AB=4，BC=6，AC=5，且$\overrightarrow{AI}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，则曲线y=（m-n）x²的焦点坐标为（　　）

• A． （-$\frac{1}{60}$，0）
• B． （0，$\frac{15}{4}$）
• C． （0，-$\frac{15}{4}$）
• D． （$\frac{1}{60}$，0）

Answer 1

分析 根据三角形的角平分线定理求得丨BD丨及丨DC丨根据向量的共线定理求得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AC}$，由I为△ABC的内心，$\frac{丨AC丨}{丨CD丨}$=$\frac{丨AI丨}{丨ID丨}$=$\frac{3}{2}$，丨AI丨=$\frac{3}{5}$丨AD丨，即可求得m和n的值，根据抛物线的性质即可求得抛物线的焦点坐标．

解答 解：AI的延长线交BC于D，由三角形的角平分线定理，$\frac{丨AB丨}{丨AC丨}$=$\frac{丨BD丨}{丨DC丨}$，
∴丨BD丨=$\frac{8}{3}$，丨DC丨=$\frac{10}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{4}{9}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{9}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
由I为△ABC的内心，则$\frac{丨AC丨}{丨CD丨}$=$\frac{丨AI丨}{丨ID丨}$=$\frac{5}{\frac{10}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
则丨AI丨=$\frac{3}{5}$丨AD丨，
∴$\overrightarrow{AI}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{15}$$\overrightarrow{AC}$，
∴m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{4}{15}$，
则m-n=$\frac{1}{3}$-$\frac{4}{15}$=$\frac{1}{15}$，
∴曲线方程x²=15y，则抛物线的焦点坐标为（0，$\frac{15}{4}$），
故选B．

点评 本题考查向量的共线的应用，考查向量的线性运算，考查三角形的三角形的角平分线定理，三角形内心的性质，考查抛物线的焦点坐标的求法，考查计算能力，属于中档题．