Question

17．点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一点，其左焦点为F（-c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为$\frac{c}{4}$，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）

Answer 1

分析 如图所示，连接F′P，利用三角形中位线定理可得：F′P=2OM=$\frac{c}{2}$，由椭圆的定义可得：FP=2a-$\frac{c}{2}$．利用FF′+F′P≥FP，即2c+$\frac{c}{2}$≥2a-$\frac{c}{2}$，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示，
连接F′P，∵M为线段FP的中点，O为线段FF′的中点，
∴F′P=2OM=$\frac{c}{2}$，
由椭圆的定义可得：FP=2a-$\frac{c}{2}$．
则FF′+F′P≥FP，即2c+$\frac{c}{2}$≥2a-$\frac{c}{2}$，
化为：3c≥2a，∴9c²=9（a²-b²）≥4a²，
∴5a²≥9b²，
解得$0＜\frac{b}{a}≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、三角形中位线定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．