Question

15．已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A，且与抛物线C相切．直线l₂：x=a（a＞-1）交抛物线C于点B，交直线l₁于点D．设设由抛物线C、直线l₁、l₂所围成的图形的面积为S₁．
（1）求直线l₁的方程；
（2）求S₁的值．

Answer 1

分析 （1）先对函数y=2x²进行求导，得到直线l₁的斜率，再由点斜式方程得到直线l₁的方程．
（2）用积分表示面积，即可得出结论．

解答 解：（1）由y=2x²，得y'=4x．当x=-1时，y'=-4．
∴l₁的方程为y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0…..（5分）
（2）由题意，当a＞-1时，${S_2}=\int_{-1}^a{（2{x^2}+4x+2）dx=（\frac{2}{3}{x^3}+2{x^2}+2x）\left|{_{-1}^a}\right.}$=$\frac{2}{3}{a^3}+2{a^2}+2a+\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}{（a+1）^3}$…..（12分）

点评 本题主要考查导数的几何意义和直线与抛物线的综合题．考查基础知识的综合应用．