Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B．
（1）若2AB=$\sqrt{3}$F₁F₂，求椭圆的离心率；
（2）在（1）的条件下，设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆C过点F₁，经过原点O的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得到关于a，b，c的关系式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，设P（x₀，y₀），由题意得$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$，再由P在椭圆上把P的坐标用含有c的代数式表示，求出圆心坐标，设出经过原点O与圆C相切的直线l的方程，由点到直线的距离公式求得k，则直线方程可求．

解答 解：（1）由2AB=$\sqrt{3}$F₁F₂，得$2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{3}•2c$，∴a²+b²=3c²，
则a²+（a²-c²）=3c²，整理得a²=2c²，∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，即e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）知，a²=2c²，b²=c²，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．
设P（x₀，y₀），由题意得，$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$，
又F₁（-c，0），B（0，c），∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}=（{x}_{0}+c，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}=（c，c）$，
∴（x₀+c）c+y₀c=0，
又c＞0，∴x₀+y₀+c=0，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，②
由①②，得$3{{x}_{0}}^{2}+4c{x}_{0}=0$，得${x}_{0}=-\frac{4}{3}c$，则${y}_{0}=\frac{c}{3}$．
∴P（$-\frac{4}{3}c，\frac{c}{3}$），从而可得圆心C（$-\frac{2}{3}c，\frac{2}{3}c$），
∴半径r=|CF₁|=$\sqrt{（-\frac{2}{3}c+c）^{2}+（\frac{2c}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$，
设直线l的方程为y=kx，则
d=$\frac{|-\frac{2}{3}c•k-\frac{2c}{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$，即k²-8k+1=0．
解得k=4$±\sqrt{15}$．
∴直线l的方程为y=（$4±\sqrt{15}$）x．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．