已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求常数a的值;(2)若存在x使不等式>成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
(1) a=1.(2) (-∞,0).(3)详见解析.
解析试题分析:(1)求出交点,切线平行即导数值相等可解;(2)转化为新函数,求出导数,利用单调性极值解;(3)构造新函数求导,利用单调性证明.
试题解析:(1)f(x)与坐标轴的交点为(0,a),f′(0)=a,g(x)与坐标轴的交点为(a,0),g′(a)=.
∴a=,得a=±1,又a>0,故a=1.
(2>可化为m<x-ex.令h(x)=x-ex,则h′(x)=1-()ex.
∵x>0,∴+≥,ex>1(+)ex>1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,因此h(x)<h(0)=0. ∴实数m的取值范围是(-∞,0).
(3)y=f(x)与y=g(x)的公共定义域为(0,+∞),|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|=ex-lnx.
令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1>0.∴h(x)在(0,+∞)上是增函数.
故h(x)>h(0)=0,即ex-1>x. ①
令m(x)=lnx-x+1,则m′(x)=-1.
当x>1时,m′(x)<0,当0<x<1时,m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x. ②
由①②,得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2.
∴函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
考点:导数几何意义、极值、导数的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,设曲线在与轴交点处的切线为,为的导函数,满足.
(1)求;
(2)设,,求函数在上的最大值;
(3)设,若对于一切,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如下图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).
(1) 求、及数列的通项公式;(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
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