Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）试讨论的单调性；

（Ⅱ）记的零点为，的极小值点为，当时，求证.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）对函数f(x)求导，分和a<0进行讨论，可得函数单调性；（Ⅱ）对函数g(x)求导，分析单调性，由零点存在性定理可确定的零点即极小值点，从而得到a与的等量关系，将等量关系代入中，利用函数f(x)的单调性即可得到证明.

解：（Ⅰ） .

若，则，在上单调递增；

若，则必有一正一负两根，且正根为.

当，，在上单调递增；

当，，在上单调递减.

综上可知，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ），，

所以在单调递增.

又，，

故存在零点，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，即为的极小值点，

故.

由知，，

所以 ，

又，所以.

由（Ⅰ）可知，时，在单调递增，

因此.