Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F₂作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）若△AF₁F₂为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F₁为左焦点）．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接把右焦点坐标代入双曲线方程求得A，B的纵坐标，则答案可求；
（2）由△AF₁F₂为等腰直角三角形可得

b2

a

=2c，借助于隐含条件转化为关于e的方程得答案．

解答： 解：（1）作出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的图象如图，

∵F₂（c，0），在双曲线方程中，取x=c，得y2=

b4

a2

，
∴y=±

b2

a

．
∴|AB|=

2b2

a

；
（2）若△AF₁F₂为等腰直角三角形，
则

b2

a

=2c，即c²-a²=2ac，
e²-2e-1=0，解得e=

2

+1．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．