Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a

x

在（0，1）上是减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）试判断关于x的方程

1

2

f（x）=g（x）+2在（0，+∞）根的个数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x）=2x-

a

x

，由已知条件即知2x-

a

x

≥0在（1，2]上恒成立，从而能求出a≤2，同样的办法求g′（x），可以得到a≥2，所以便得到a=2，这样便能得到f（x），g（x）的解析式；
（2）设h（x）=

1

2

f(x)-g(x)-2=

1

2

x2-lnx-x+2

x

-2，根据题意要求原方程的实数根的个数，只要求函数h（x）的零点个数即可．可通过求h′（x），能够判断出x=1时h（x）取最小值，并且求出h（1）判断h（1）的符号：h（1）=-

1

2

＜0，所以便可得到函数h（x）有两个零点，所以原方程有两个实数根．

解答： 解：（1）由f（x）在（1，2]上是增函数，得：
在（1，2]上，f′（x）=2x-

a

x

≥0；
即在（1，2]上a≤2x²恒成立；
∵2x²＞2；
∴a≤2；
g（x）在（0，1）上是减函数，可得：
在（0，1）上，g′（x）=1-

a

2 x

≤0；
即a≥2

x

；
∵2

x

＜2；
∴a≥2；
综合可得，a=2，函数f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）令h（x）=

1

2

f（x）-g（x）-2=

1

2

x²-lnx-x+2

x

-2，本题即求函数h（x）的零点个数；
h′（x）=x-

1

x

-1+

1

x

=

x ( x -1)

x x

；
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=-

1

2

＜0；
因此函数h（x）有两个零点，即原方程有2个根．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，根据函数单调性求函数的范围，函数零点的概念，以及函数零点和对应方程根的关系，以及根据函数的导数符号求函数最值的方法．