Question

正数数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=（

an+1

2

）²，b_n=（-1）ⁿS_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）求{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n与S_n的关系，根据题意化简得到数列的递推公式，判断出数列是等差数列，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和题意求出b_n，讨论n是奇数和偶数，利用平方差公式、分组求和法和等差数列的前n项和公式，求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由题意得，S_n=（

an+1

2

）²，且a_n＞0，
当n=1时，a₁=S₁=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2
a_n=

1

4

[（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1-2）]
4a_n=an2+anan-1+2an-an-1an-an-12-2an-1
an2-2an-an-12-2an-1=0
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n＞0，所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
则a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）由（1）得，S_n=（

an+1

2

）²=n²，
所以b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²，
若n是偶数，则n²-（n-1）²=2n-1，
则T_n=-1²+2²-3²+4²+…+（-1）ⁿn²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]
=3+7+…+（2n-1）=

3+2n-1

2

×

n

2

=

n(n+1)

2

，
若n是奇数，则（n+1）²-n²=2n+1，
则T_n=-1²+2²-3²+4²+…+（-1）ⁿn²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（n-1）²-（n-2）²）-n²
=3+7+…+（2n-3）-n²=

3+2n-3

2

×

n-1

2

-n²=-

n(n+1)

2

，
综上得，T_n=

n(n+1) 2 ，n是偶数 - n(n+1) 2 ，n是奇数

．

点评：本题考查数列a_n与S_n的关系，等差数列的通项公式、前n项和公式，以及分类讨论思想和分组求和法，考查学生的化简运算能力．