Question

4．已知$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$，
（1）若 $α=\frac{π}{6}$，则tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）将 $α=\frac{π}{6}$，带入计算即可．
（2）根据$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$化简可得tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点（3，0）的斜率问题，可得结论．

解答 解：由$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$，化简可得：sinβ（1+sin²α）=$\frac{1}{2}$sin2αcosβ，则tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$
（1）若 $α=\frac{π}{6}$，则tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin\frac{π}{3}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．
∵tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$=$-\frac{-sin2α}{3-cos2α}$，看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点（3，0）的斜率问题，
直线过（3，0），设方程为y=k（x-3），
d=r=1，即1=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和最值的转化思想，斜率的应用，圆心到直线的距离共识，属于中档题．