Question

5．已知函数f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象，并写出f（x）的周期、振幅、初相；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$，可求f（x）的周期，振幅，初相，列表，描点，连线，用五点法即可画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
（2）由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可求2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{4}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
=sinx（sinx+cosx）-2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=sinxcosx+cos²x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$、振幅为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、初相为$\frac{π}{4}$；
列表可得：

2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
sin（2x+$\frac{π}{4}$）	0	1	0	-1	0
y	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

作图：
--------（4分）
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．

点评 本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．