Question

设f（x）=

a-2x

1+2x

，其中实常数a＞-1
（1）求函数f（x）的定义域和值域
（2）讨论函数f（x）的单调性和奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件即可求函数f（x）的定义域和值域
（2）根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．

解答： 解：（1）∵1+2^x＞0恒成立，∴函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），
f（x）=

a-2x

1+2x

=

a+1-(1+2x)

1+2x

=

a+1

1+2x

-1，
∵a＞-1，
∴a+1＞0
∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1
则0＜

a+1

1+2x

＜a+1，-1＜

a+1

1+2x

-1＜a，
即函数的值域（-1，a）．
（2）f（-x）=

a-2-x

1+2-x

=

a•2x-1

1+2x

，
若f（-x）=f（x），即-1+a•2^x=a-2^x，此时a=-1，不成立，
若f（-x）=-f（x），即-1+a•2^x=-a+2^x，此时a=1，此时函数为奇函数，
若a≠1，则函数非奇非偶函数．
∵a+1＞0，函数y=1+2^x为增函数，y=

1

1+2x

是减函数，
y=

a+1

1+2x

是减函数，y=

a+1

1+2x

-1是减函数，
则f（x）是减函数．

点评：本题主要考查指数函数单调性和值域的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．