Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB=BD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，AD=2，∠ABC=120°．
（1）求∠BAC的值；
（2）求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及已知可求sin∠BCA=$\frac{1}{2}$，利用大边对大角，特殊角的三角函数值即可解得∠BCA的值．
（2）△BAD中由余弦定理可求∠BAD=45°，∠CAD=15°，利用三角形面积公式即可求得S_△ACD的值．

解答 解：（1）∵AB=BD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，AD=2，∠ABC=120°．
∴由正弦定理可得：sin∠BCA=$\frac{ABsin∠ABC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠BCA＜∠ABC，则∠BCA=30°．…6分
（2）∵由余弦定理可得：cos∠BAD=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AD}$=$\frac{2+4-2}{2×\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△BAD中，∠BAD=45°，
∴∠CAD=15°，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}AC•AD$sin∠CAD=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{6}$×2×sin（45°-30°）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．