Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a²+b²=2c²，sinAcosB=2cosAsinB．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出；
（II）利用（I）、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵sinAcosB=2cosAsinB，
∴$a×\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2b×\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$
化简得：${a^2}-{b^2}=\frac{1}{3}{c^2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-{b^2}=\frac{1}{3}{c^2}\\{a^2}+{b^2}=2{c^2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=\frac{7}{6}{c^2}\\{b^2}=\frac{5}{6}{c^2}\end{array}\right.$（4分）
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{c^2}{{2\sqrt{\frac{7}{6}}c•\sqrt{\frac{5}{6}}c}}=\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$（8分）
（Ⅱ）由$c=\sqrt{6}$，
可得：$a=\sqrt{7}，b=\sqrt{5}$，$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{26}}}{{\sqrt{35}}}$（12分）
$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}\sqrt{7}•\sqrt{5}•\frac{{\sqrt{26}}}{{\sqrt{35}}}=\frac{{\sqrt{26}}}{2}$（15分）

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．