Question

5．已知函数$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$，对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂时，满足$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{3}{2}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，+∞}]$
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由已知可得函数$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$在区间[1，+∞）上为增函数，结合二次函数，指数函数和复合函数的单调性，可得答案．

解答 解：若对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂时，满足$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，
则函数$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$在区间[1，+∞）上为增函数，
由t=${x}^{2}-ax+\frac{1}{2}$在[$\frac{a}{2}$，+∞）上为增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ \frac{a}{2}≤1\\ 1-a+\frac{1}{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈$（1，\frac{3}{2}）$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．