Question

17．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理可得MN∥PB，故而PB∥平面MNC．
（2）由三线合一可得CM⊥AB，再有面面垂直得出CM⊥平面PAB，故CM⊥PA，由AP⊥PB，MN∥PB可得PA⊥MN，故而PA⊥平面MNC．

解答 证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，
∴MN∥PB，又MN?平面MNC，PB?平面MNC，
∴PB∥平面MNC．
（2）∵AC=BC，M是AB中点，
∴CM⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM?平面ABC，
∴CM⊥平面PAB，∵AP?平面PAB，
∴AP⊥CM．
∵PA⊥PB，MN∥PB，
∴PA⊥MN，
又MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM=M，
∴PA⊥平面MNC．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质和线面垂直的判定，属于中档题．