Question

2．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）证明：函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）则先在给定的区间上任取两个变量，且界大小，再作差变形看符号，若自变量与相应函数值变化一致，则为增函数，若自变量变化与相应函数值变化相反时，则为减函数，
（2）根据函数的单调性即可求出值域．

解答 证明：（1）设x₁，x₂∈[2，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由2＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函数，
（2）由（1）可知f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[4，8]是增函数，
∵f（4）=4+1=5，f（8）=8+$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴f（x）在[4，8]上的值域为[5，$\frac{17}{2}$]．

点评 本题主要考查用单调性定义如何来证明函数单调性的，以及函数的值域，属于基础题．