Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为棱AB的中点
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD
（3）若AB=1，AA₁=$\sqrt{3}$，求三棱锥D-A₁B₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）说明CD⊥AB推出CD⊥平面AA₁B₁B，然后证明平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B．
（2）连接AC₁，设AC₁∩A₁C=O，连接OD，则O为AC₁的中点，推出OD∥BC₁，即可证明BC₁∥平面A₁CD．（3）利用等体积法转化求解即可．

解答 （12分）解：（1）∵三角形ABC是等边三角形且D为棱AB的中点，∴CD⊥AB
又平面ABC⊥平面AA₁B₁B且交线为AB
∴CD⊥平面AA₁B₁B，又CD?平面A₁CD
∴平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B…（4分）
（2）连接AC₁，设AC₁∩A₁C=O，连接OD，则O为AC₁的中点，
在三角形AC₁D中，OD是中位线，∴OD∥BC₁…（6分）
又OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
由线面平行的判定定理知：BC₁∥平面A₁CD…（8分）
（3）由（1）知：CD⊥平面AA₁B₁B且$CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
由${V_{D-{A_1}{B_1}C}}={V_{C-{A_1}{B_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}D}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{4}$…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行于垂直的判断与应用，考查空间想象能力以及计算能力．