Question

2．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可．

解答 解　（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2；                  
当4＜x≤20时，设v=ax+b，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{20a+b=0}\\{4a+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以v=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{2}$，
故函数v=$\left\{\begin{array}{l}{2，0＜x≤4}\\{-\frac{1}{8}x+\frac{5}{2}，4＜x≤20}\end{array}\right.$；
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，
依题意并由（1）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0＜x≤4}\\{-{\frac{1}{8}x}^{2}+\frac{5}{2}x，4＜x≤20}\end{array}\right.$
当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）_max=f（4）=4×2=8；       
当4＜x≤20时，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x²-20x）=-$\frac{1}{8}$（x-10）²+$\frac{100}{8}$，
f（x）_max=f（10）=12.5．
所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．