Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）在线段AC上是否存在一点G使FG∥平面PBD，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需证明BD⊥平面PAC即可；
（2）连结PE，根据中位线定理即可得出当G为CE中点时有FG∥PE，故FG∥平面PBD．

解答 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面APC，∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG．
（2）解：当G为EC中点，即$AG=\frac{3}{4}AC$时，FG∥平面PBD． 
理由如下：连结PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE
而FG?平面PBD，PB?平面PBD，故FG∥平面PBD．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判断，属于基础题．