Question

18．已知函数f（x）=log₃x+2，x∈（0，9]
（1）求函数g（x）=f（2sinx-1）+f（3$\sqrt{3}$tanx）的定义域．
（2）求函数h（x）=[f（x）]²+f（x²）的最小值及取最小值时对应的x值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质的关于x的不等式组，解出即可；
（2）将f（x）=2+log₃x（0＜x≤9）代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，利用换元法求最值．

解答 解：（1）∵x∈（0，9]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2sinx-1≤9}\\{0＜3\sqrt{3}tanx≤9}\end{array}\right.$，解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数g（x）的定义域是：（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]；
（2）y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，
∵f（x）=2+log₃x（0＜x≤9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤9}\\{{0＜x}^{2}≤9}\end{array}\right.$，解得；0＜x≤3，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6的定义域是{x|0＜x≤3}．
令log₃x=t，因为0＜x≤3，所以t≤1，
则上式变为y=t²+6t+6，t≤1，
y=t²+6t+6在（∞，-3）递减，在（-3，1]上是增函数，
当t=-3时，y取最小值-3．

点评 本题考查了对数函数以及三角函数的性质，考查换元法求函数的值域问题，在使用换元法时，注意范围．