Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，\frac{1}{2}cos2x）$，x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标结合数量积的坐标运算及两角差的正弦可得f（x）的解析式，然后利用复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，\frac{1}{2}cos2x）$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴0≤2x≤π，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
则$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$．
∴f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值分别为1和-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的图象和性质，是中档题．