Question

12．已知sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，求cos（α-β）和sin（α+β）．

Answer 1

分析 由已知条件，不易求得sinα，sinβ，cosα，cosβ．可将两式平方，整体构造出cos（α-β）求解，将两式子相乘，整理可得：sin（α+β）=sin（α+β）cos（α-β）+$\frac{1}{6}$，由cos（α-β）=$\frac{59}{72}$，代入即可得解sin（α+β）的值．

解答 解：将两式已知两边平方可得：
sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$，
cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$，
两式相加，2-2sinαsinβ-2cosαcosβ=$\frac{13}{36}$，
移向2sinαsinβ+2cosαcosβ=$\frac{59}{36}$，
即2cos（α-β）=$\frac{59}{36}$，
所以cos（α-β）=$\frac{59}{72}$．
将两式子相乘可得：（sinα-sinβ）（cosα-cosβ）=-$\frac{1}{6}$，
可得：sinαcosα-（cosαsinβ+sinαcosβ）+sinβcosβ=-$\frac{1}{6}$，
整理可得：sin（α+β）=$\frac{1}{2}$（sin2α+sin2β）+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}×$2sin（α+β）cos（α-β）+$\frac{1}{6}$=sin（α+β）cos（α-β）+$\frac{1}{6}$，
由cos（α-β）=$\frac{59}{72}$，代入可得：sin（α+β）=$\frac{59}{72}$sin（α+β）+$\frac{1}{6}$，
解得：sin（α+β）=$\frac{36}{39}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式，二倍角公式，和差化积公式在三角函数化积求值中的应用，考查了整体代换的方法，考查了转化思想，属于中档题．