Question

4．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）经过椭圆$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数）的左焦点F．
（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²φ+sin²φ=1将椭圆C的参数方程化为普通方程，可得a，b，c，可得点F的坐标，l是经过点（m，0）的直线，可得m．
（2）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用|FA|•|FB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
所以$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，则点F的坐标为（-1，0），l是经过点（m，0）的直线，故m=-1． …（4分）
（2）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂
则|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{9}{3co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
当sinα=0，|FA|•|FB|取最大值3
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$．…（10分）

点评 本题考查了直线与椭圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．