Question

17．设函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]时，f（x）的图象与x轴恰好有两个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的单调增区间；
（2）根据y=f（x）两个不同的交点，建立条件关系即可，求m的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=1+cos2x+sin2x+a=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1$，
∴T=1，
又∵$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}+2kπ$
∴$-\frac{3π}{8}+kπ＜x＜\frac{π}{8}+kπ$
∴$单增区间为（-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ）（k∈Z）$
（2）f（x）与x轴有两个不同的交点，即$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1=0$有两个不同的解
即$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$与y=-a-1有两个不同交点
令$t=2x+\frac{π}{4}$，t$∈[\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}]$
易知$-\sqrt{2}＜-a-1≤-1$
∴$a∈[0，\sqrt{2}-1）$

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的零点个数问题，属于易考题．