Question

7．已知递增等比数列{a_n}的第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列，则数列a_n的公比为（　　）

• A． $±\sqrt{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式、单调性即可得出．

解答 解：设递增等比数列{a_n}的公比为q，∵第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列，
∴a₃a₅a₇=${a}_{5}^{3}$=512，2（a₅-3）=a₃-1+a₇-9，即2（a₅-3）=$\frac{{a}_{5}}{{q}^{2}}$+${a}_{5}{q}^{2}$-10，
解得a₅=8，2q⁴-5q²+2=0，
q²=$\frac{1}{2}$，或2．
q=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，$±\sqrt{2}$，
∵数列{a_n}为递增的等比数列，∴q=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．