Question

12．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为2，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量投影的定义以及向量数量积和夹角的关系进行求解即可．

解答 解：设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为夹角为θ，
则∵$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为2，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+1=2，
解得$cosθ=\frac{1}{2}$，
则$θ=\frac{π}{3}$．
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=2|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ+12，
故答案为：2，$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量投影的定义先求出向量夹角是解决本题的关键．