Question

2．已知点P，A，B，C在同一球面上，PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1，则该球的表面积是8π．

Answer 1

分析 由题意，求出△ABC外接圆的半径，把A、B、C、P扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：由AB=BC=1，且2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1，可得cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，B=120°，
设△ABC外接圆的半径为r，则2r=$\frac{AC}{sin120°}$=2，∴r=1．
设球的半径为R，则
把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
∴R=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴球的表面积是S=4πR²=8π，
故答案为：8π．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．