Question

曲线y=x³+x²+x+1在点（-1，0）处的切线与抛物线y=ax²（a≠0）相切，则抛物线的准线方程是（　　）

• A、y=-

  1

  2

• B、y=

  1

  2

• C、x=-

  1

  2

• D、x=

  1

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到方程．设过点（-1，0）处的切线与抛物线y=ax²（a≠0）相切于点P（x₀，y₀），再利用导数的几何意义和切线的方程即可得出．

解答： 解：y=f（x）=x³+x²+x+1，∴f′（x）=3x²+2x+1．
∴f′（-1）=2．
可得切线方程为：y=2x+2．
对于抛物线方程y=ax²，可得y′=2ax．
设过点（-1，0）处的切线与抛物线y=ax²（a≠0）相切于点P（x₀，y₀），
∴2ax₀=2，y₀=a

x

2 0

=2x₀+2．
解得a=-

1

2

．
∴抛物线的方程为：x²=-2y．
∴抛物线的准线方程是y=

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查了导数的几何意义和切线的方程，属于中档题．