Question

6．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}1&a\\ 2&1\end{array}}]$的一个特征值λ=3所对应的一个特征向量$\overrightarrow e=[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析 利用特征值与特征向量的定义，建立方程，求出矩阵A；求出|A|，即可写出矩阵A的逆矩阵．

解答 解：由题意，$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{2}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
∴a+1=3，
∴a=2，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，
∵|A|=-3≠0，
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{-3}}&{\frac{-2}{-3}}\\{\frac{-2}{-3}}&{\frac{1}{-3}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．