Question

10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，顶点A（a，0）到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求得3ab=$\sqrt{2}$c²，平方，利用双曲线的离心率公式及a＞b＞0，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线的渐近线方程：y=±$\frac{b}{a}$x，则ay±bx=0，
则顶点A（a，0）到渐近线的距离d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，则3ab=$\sqrt{2}$c²，
两边平方整理得：2c⁴-9a²c²+9a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，则2e⁴-9e²+9=0，解得：e²=3，或e²=$\frac{3}{2}$，
则e=$\sqrt{3}$或e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由a＞b＞0，则$\frac{b}{a}$＜1
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
∴双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查点到到直线的公式，双曲线的渐近线方程及双曲线离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．