Question

如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第行，第列的数记作,，如.

（I）写出的值；

 (II) 若求的值；(只需写出结论)

（III）设， (), 记数列的前项和为,求；并求正整数，使得对任意，均有．

2	4	8	14	…
6	10	16	24	…
12	18	26	36	…
20	28	38	50	…
…	…	…	…	…

Answer 1

   解：（I）， .    ……………4分

(II) I =20 , j =3.          …………8分

(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b_n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数，

所以 b_n = ( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) =  4 n² – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…；

因为 所以，

故                                .…………10分

因为 ；当时，，

而

得，

所以当时，，综上对任意恒有，故．