Question

18．已知a，b，c均为正数，且a+b=1，则$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$的最小值是1．

Answer 1

分析 利用已知设2a+1=m，2b+1=n，得到m+n=4，则$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$，将其乘以m+n，展开，利用基本不等式求最小值．

解答 解：a，b，c均为正数，且a+b=1，
设2a+1=m，2b+1=n，且m+n=4，
则$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{4}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$）
≥$\frac{1}{4}$（2+2）=1；当且仅当m=n等号成立；
故答案为：1．

点评 本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是将所求转化为和为定值的两个数，求其倒数的和的最小值问题．