Question

已知函数f(x)＝3－2log₂x，g(x)＝log₂x.
(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；
(2)求函数M(x)＝的最大值；
(3)如果不等式f(x²)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）[0,2]．（2）当x＝2时，M(x)取到最大值为1.
（3）k<－2.

试题分析：(1)h(x)＝(4－2log₂x)·log₂x＝－2(log₂x－1)²＋2，
∵x∈[1,4]，∴log₂x∈[0,2]，
∴h(x)的值域为[0,2]．
(2)：f(x)－g(x)＝3(1－log₂x)．
当x>2时，f(x)<g(x)；当0<x≤2时，f(x)≥g(x)．
∴M(x)＝＝
当0<x≤2时，M(x)最大值为1；
当x>2时，M(x)<1；
综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.
(3)由f(x²)f()>kg(x)得
(3－4log₂x)(3－log₂x)>k·log₂x，
令t＝log₂x，∵x∈[2,4]，∴t∈1,2]，∴存在t∈[1,2]使(3－4t)(3－t)>kt，
即k<= 4t＋－15成立
记h (x) = 4t＋－15,则k< h (x)max即可，易得h (x)max=-2
综上：k<－2.
点评：解决的管家式利用对数式的运算，以及函数的性质，均值不等式来求解最值，属于中档题。