Question

13．已知函数f（x）=2msin²x-（2$\sqrt{3}$）msinx•cosx+n（m＞0）的定义域为[0，$\frac{π}{2}$]，值域为[-5，4]，试求函数g（x）=msin（x+10°）+2ncos（x+40°）（x∈R）的最小正周期T和最值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及变形，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，由题意和正弦函数的性质列出方程组，求出m、n的值，利用两角和的余弦公式、辅助角公式化简g（x），由正弦函数的性质求出g（x）的最小正周期T和最值．

解答 解：由题意得，f（x）=2msin²x-（2$\sqrt{3}$）msinx•cosx+n
=m（1-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x）+n=$-2msin（2x+\frac{π}{6}）+m+n$，
由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∵m＞0，且值域为[-5，4]，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+m+n=-5}\\{-2m×（-\frac{1}{2}）+m+n=4}\end{array}\right.$，
解得m=3、n=-2，
∴g（x）=3sin（x+10°）-4cos（x+40°）=3sin（x+10°）-4cos[（x+10°）+30°]
=3sin（x+10°）-4[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+10°）-$\frac{1}{2}$sin（x+10°）]
=5sin（x+10°）-2$\sqrt{3}$cos（x+10°）
=$\sqrt{37}sin（x+10°+α）$（其中$cosα=\frac{5}{\sqrt{37}}$、$sinα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$），
∴g（x）最小正周期T是2π，
当sin（x+10°+α）=1时，g（x）取到最大值是$\sqrt{37}$，
当sin（x+10°+α）=-1时，g（x）取到最大值是-$\sqrt{37}$．

点评 本题考查正弦的图象与性质，三角恒等变换中的公式，考查整体思想，方程思想，化简、变形能力．