Question

斜率为2的直线l过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（1，

  3

  ）
• C、(1，

  5

  )
• D、（

  5

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．

解答： 解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点
且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率

b

a

必大于2，即b＞2a，
因此该双曲线的离心率e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+ b2 a2

＞

1+4

=

5

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题．