Question

已知函数f(x)＝，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）h(a)＝（2）不存在

(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝∈.设t＝，t∈，
则y＝φ(t)＝t²－2at＋3＝(t－a)²＋3－a².
当a＜时，y_min＝h(a)＝φ＝；
当≤a≤3时，y_min＝h(a)＝φ(a)＝3－a²；
当a＞3时，y_min＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
∴h(a)＝
(2)假设满足题意的m、n存在，∵m＞n＞3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数．∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，∴，由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，∴满足题意的m、n不存在．