Question

9．设f（x）是定义在R上的偶函数，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-2，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（-1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{5}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 可判断f（x）的周期为4，从而作函数f（x）与y=log_a（x+1）在（-1，9]上的图象，结合图象分类讨论即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的周期为4，
作函数f（x）与y=log_a（x+1）在（-1，9]上的图象如下，
，
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2+1）＜2}\\{lo{g}_{a}（6+1）＞2}\end{array}\right.$，
解得，$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{7}$；
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（4+1）＞-1}\\{lo{g}_{a}（8+1）＜-1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{9}$＜a＜$\frac{1}{5}$；
故答案为：（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{5}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点与图象的交点的关系应用．